Změna momentu setrvačnosti a změna úhlové rychlosti spolu tedy nějakým způsobem souvisí. Na naši situaci se židlí se můžeme dívat ještě jiným způsobem. Během připažení se změní rozložení hmotnosti našeho těla vůči ose otáčení a změní se tedy náš moment setrvačnosti vůči ose otáčení. Jestliže přitáhneme ruce k tělu - blíž k ose otáčení - náš moment setrvačnosti se zmenší a zároveň vzroste naše úhlová rychlost.
Změna momentu setrvačnosti a změna úhlové rychlosti spolu tedy nějakým způsobem souvisí.
Pokud si rozepíšeme a upravíme součin úhlové rychlosti w a momentu setrvačnosti závaží o hmotnosti m pohybujícího se touto úhlovou rychlostí ve vzdálenosti r od osy otáčení
|
|
(49) |
|
|
získáme veličinu L, která se nazývá moment hybnosti, a která je velmi důležitá pro popis rotujících těles.
Obecně je moment hybnosti vektor určený vztahem |
|
|
(50) |
|
kde r je polohový vektor hmotného bodu, který má hybnost p. Moment hybnosti tělesa, bychom mohli určit tak, že bychom těleso rozdělili na velké množství malých částí a sečetli jejich momenty hybnosti vzhledem k vybrané soustavě souřadnic. |
|
|
|
(51) |
V našem speciálním případě rotace na židli, je vektor obvodové rychlosti v závaží a tedy i vektor hybnosti p závaží kolmý na vektor r určující nejkratší vzdálenost od osy otáčení. Velikost momentu hybnosti je proto rovna prostému součinu rp.
Směr momentu hybnosti je v tomto případě rovnoběžný se směrem úhlové rychlosti w, jak vyplývá z vektorového součinu (50).
Obecně je vektor momentu hybnosti rovnoběžný s vektorem úhlové rychlosti pouze v některých případech rotace
symetrických těles.
Moment hybnosti vystupuje v důležitém vztahu, který se nazývá druhá věta impulsová a jehož odvození lze najít např. v [6]. Druhá věta impulsová vyjadřuje skutečnost, že časová změna momentu hybnosti je rovna celkovému momentu síly působící na těleso. Matematicky vyjádřeno:
|
|
(52) |
M je celkový moment sil určený vztahem
|
|
(53) |
a změnu momentu hybnosti vyjadřujeme jako jeho derivaci, podobně jako například rychlost je derivace dráhy podle času.
Vztah (52) připomíná druhý Newtonův pohybový zákon, ze kterého také skutečně vychází a je jeho obdobou pro soustavu rotujících těles. Uvažujeme-li například náš speciální případ závaží o hmotnosti m rotujícího kolem osy ve vzdálenosti r můžeme psát druhou větu impulsovou (uvažujeme pouze velikosti vektorů) ve tvaru
|
|
(54) |
Jestliže se vzdálenost r nemění, můžeme ji vykrátit a vztah (54) přejde na druhý Newtonův pohybový zákon
|
|
(55) |
Nyní se můžeme vrátit k vysvětlení pohybu krasobruslaře při piruetě. Z druhé věty impulsové vyplývá, že pokud na krasobruslaře nepůsobí žádný vnější
moment síly (M =0), jeho moment hybnosti L zůstává konstantní (změna L je nulová). Předpokládáme-li navíc, že platí vztah (49) L = Jw,
potom je zřejmé, že při připažení se zmenší moment setrvačnosti krasobruslaře a tedy se musí zvýšit jeho úhlová rychlost.
Na příkladu krasobruslaře jsme sledovali velmi důležitý důsledek 2. věty impulsové.
,
.