Christoffelovy koeficienty nesou informaci o změně metrického tenzoru od místa k místu... Pokud hledáme parciální derivaci nějakého vektorového pole, porovnáváme vlastně jeho stav ve dvou blízkých bodech. V křivočarých souřadnicích obecné relativity však toto nelze provést přímo, protože při přesunu k jinému místu se změní i sama báze soustavy a nelze jednoduše porovnat souřadnice dvou vektorů, jsou-li vztaženy k různým bázím. Změnu báze nazýváme afinní konexe. Jelikož tedy nemůžeme použít klasickou parciální derivaci, zavádíme kovariantní derivaci, která bere v úvahu i afinní konexi. Podstata je jednoduchá: každý vektor je součinem svých souřadnic s příslušnou bází. Je-li nekonstantní báze, musíme vektor derivovat jako tento součin a tím uvažovat i "derivaci báze":
![]() |
Kovariantní derivaci označujeme středníkem (;). A pozor: zde nesčítáme přes index , protože jsme si pouze vektor
rozepsali do tvaru součinu souřadnic a báze. Nyní zavedeme
![]() |
čímž lze výraz (1) přepsat na tvar
![]() |
To v plochém prostoru přejde v klasickou parciální derivaci (značenou čárkou), protože Christoffelovy koeficienty jsou v něm nulové z důvodu konstantnosti metrického tenzoru.
S pomocí (2) a s odkazem na metrický tenzor je možné odvodit, že
![]() |