Zde jsou uvedeny matematické vztahy pro transformace ve speciální relativitě:
Chceme najít vztah mezi prostorovými a časovými souřadnicemi dvou inerciálních systémů (systémů bez zrychlení). Zvolíme si osové trojhrany tak, aby osy x obou soustav splývaly a osy y, z byly rovnoběžné. Soustava označená čárkou se pohybuje rovnoměrně přímočaře vzhledem k nečárkované soustavě rychlostí v:
V čase t = 0 splývají oba počátky (0 = 0'). Hledaná transformace musí být lineární, aby z inerciálního systému vytvořila opět inerciální systém:
x' = gx + dt |
t' = ax + bt |
Musíme najít hodnoty koeficientů g, d: v obecném časovém okamžiku má počátek čárkované souřadné soustavy (x' = 0) v nečárkované souřadnici x = vt:
0 = gvt + dt ... z čehož plyne: d = -gv |
Dosadíme: x' = gx - gvt, čili x' = g(x - vt) |
x' = g(x - vt), x = g(x' + vt') |
Dosadíme jednu rovnici do druhé: |
x = g(g(x - vt) + vt') ... upravíme: |
x = xg 2 - vtg 2 + gvt' ... vyjádříme t': |
t' = x/(gv) - gx/v + gt ...což upravíme na: |
t' = x(1 - g 2)/(gv) + gt |
x' = g(x - vt) ... a zároveň x' = ct', tedy: |
ct' = g(c - v)t ... protože x = ct a čas t jsme vytkli |
Do tohoto vztahu dosadíme ... |
za t' = t(c(1 - g2)/(gv) + g) a dostaneme: |
ct(c(1 - g2)/(gv) + g) = g(c - v)t ... |
čas t se zkrátí a můžeme vyjádřit g ... |
g1/(1 - v2/c2)1/2 |
Čili Lorentzova transformace je:
x' = (x - vt)/(1 - v2/c2)1/2 |
t' = (t - xv/c2)/(1 - v2/c2)1/2 |
y' = y, z' = z |
Z této transformace lze odvodit všechny následující vztahy.
Vyplývá z následujíchích výrazů
t0 = t'2 - t'1 t = t2 - t1 |
![]() |
Jestliže někdo změří, že něco trvalo t0 sekund, potom jiný pozorovatel, který se vzhledem k prvnímu pohybuje rychlostí v, změří u téhož děje, že trval t sekund. Vždy bude t >= t0. Například kyv kyvadla je pro člověka v klidu dlouhý jednu sekundu, ale letí-li někdo kolem rychlostí 280 000 km/s, trvá to pro něj 2 sekundy a 78 setin. Pro rychlosti "malé" (třeba i tisíc km za sekundu!) je rozdíl neznatelný.
Vzplývá z
L0 = x2' - x1' |
![]() |
L0 je pro pozorovatele v klidu, délku L vidí pozorovatel o rychlosti v, která je přesně ve směru délky L. Vždy platí, že L0 >= L. Vidí-li tedy někdo tyč délky 4 metry, pak pro někoho o rychlosti 216 000 km/s a směru rovnoběžném s tyčí má délku 2 metry a 77 centimetrů.
Odvozuje se pomocí vztahů:
u = dx/dt, u' = dx'/dt' |
![]() |
Rychlosti u, v musí být rovnoběžné. Je-li v jisté soustavě rychlost nějakého tělesa rovna u', potom v soustavě o rychlosti v vzhledem k té první se rychlost tělesa jeví jako u. Například kolem nás někdo letí rychlostí 240 000 km/s a vyšle před sebe projektil rychlostí 210 000 km/s (vzhledem k sobě). My zjistíme rychlost projektilu 288 461 km/s. Zvolíme-li u' jako rychlost světla, vyjde nám u opět rychlost světla pro jakoukoli rychlost v... Chceme-li transformaci zobecnit na libovolný směr rychlosti u, získáme následující vztahy pro jednotlivé složky (rychlost v však musí mít stále směr osy x):
![]() |
![]() |
![]() |
Jelikož se hmotnost projevuje při dynamických dějích (srážky apod.), odvozuje se vztah pro relativistickou hmotnost ze zákona zachování hybnosti:
m1u1 + m2u2 = (m1 + m2)v |
m1, m2 jsou hmotnosti dvou objektů, které se srazí, u1 a u2 jsou jejich rychlosti před srážkou, v je rychlost po srážce. Uplatní se pravidlo o skládání rychlostí, které vlastně způsobí i relativistickou změnu hmotnosti:
![]() |
V klidové soustavě má těleso hmotnost m0, v soustavě o rychlosti v se jeví, že má (setrvačnou) hmotnost m. Je vždy m >= m0. Transformace se týká pouze setrvačné hmotnosti, jelikož pouze ta hraje roli při výměně hybnosti. Význam relativistické hmotnosti je tedy poněkud diskutabilní a zřejmě bohatě postačí, bude-li těleso charakterizováno svou hmotností klidovou.
Z výrazu pro relativistickou hmotnost plyne, že
m2(c2 - v2) = m02.c2 |
Po diferencování obdržíme
2m(c2 - v2)dm - m22v.dv = 0 |
což upravíme na
mv.dv + v2.dm = c2dm (1) |
Pro energii platí
dE = F.ds = ds.d(m.v)/dt = v.d(m.v) |
= v2.dm + mv.dv (2) |
Porovnáním obou výsledků (1, 2) získáme vztah
dE = c2 d.m |
Z toho plyne:
E = mc2 |
což je známý Einsteinův vztah mezi hmotností a energií. Říká se v něm, že hmotnosti m odpovídá energie E (konstantou úměry je c2 = 9.1016 m2.s-2). Na první pohled vychází i pro malé hmotnosti obrovská energie - už pro jeden kilogram je to 9.1016 Joulů. Tolik energie ve formě fotonů bychom získali z libovolného tělesa o hmotnosti jeden kilogram jeho úplnou přeměnou na záření. Běžné metody získávání energie jsou tedy velmi neúčinné.
Vzdálenost mezi dvěma událostmi v trojrozměrném prostoru určíme snadno pomocí Pythagorovy věty:
s2 = x2 + y2 + z2 |
Tato vzdálenost se nezmění, ani když přejdeme do jiné souřadné soustavy (posunuté, pootočené, atd). Nemění se ani pod vlivem Galileiho transformace. Pokud chceme i v teorii relativity najít jakousi vzdálenost mezi dvěma body, která je neměnná při přechodu do jiné soustavy, musíme do ní zahrnout i čas - určujeme pak "vzdálenost" mezi body v časoprostoru, neboli časoprostorový interval:
s2 = s2 = x2 + y2 + z2 - c2t2 |
Proč však má čas opačné znaménko a navíc je násoben rychlostí světla? Všimněme si, že pro s=0 lze výraz upravit na tvar
c2t2 = x2 + y2 + z2 |
To je rovnice koule, která se v čase zvětšuje rychlostí světla. Může tedy představovat světelný záblesk, šířící se od středu na všechny strany. Rychlost světla je však vždy stejná, proto i tato "zvětšující se koule" vypadá stejně pro všechny pozorovatele: pokud například někdo vyslal onen záblesk právě v okamžiku, kdy ho míjel letící pozorovatel, pak oba jsou ze svého pohledu stále uprostřed narůstající sféry, i když jsou ve vzájemném pohybu. Z toho je vidět, že čas obou nemůže být stejný. Pak by totiž světelná koule musela mít dva různé středy.
Speciální teorie relativity sice vychází z vlastností inerciálních (nezrychlených) soustav, to jí však nebrání počítat i zrychlené pohyby. Postupujeme tak, že obecný pohyb rozdělíme na krátké úseky, které jsou díky své omezenosti "téměř" inerciální, vyřešíme pohyb v každé takové části a výsledky potom sečteme. To je samozřejmě postup šitý na míru diferenciálnímu a integrálnímu počtu. Zde je například vztah pro vlastní čas pozorovatele, pohybujícího se v časoprostoru po světočáře, zadané parametricky jako xm = xm (l):
![]() |
Zde hmn = diag(-c2,1,1,1) je metrika plochého prostoru. Vlastní čas Dt je čas, který daný pozorovatel sám naměří hodinkami, které si nese s sebou. Světočára (dráha pozorovatele v časoprostoru) nesmí nikde překročit rychlost světla. Pokud tento postup použijeme na známý paradox dvojčat a spočítáme vlastní čas na Zemi a vlastní čas v raketě putující "tam a zase zpátky", skutečně nám vyjde, že na Zemi uplyne více času (pro cestovatele je možné použít libovolnou světočáru časového typu).