Úvod Teorie relativity Matematické dodatky FAQ Ke stažení Napište mi

Ke speciální relativitě

Zde jsou uvedeny matematické vztahy pro transformace ve speciální relativitě:

Z čeho teorie relativity vychází a co z ní vyplývá
Lorentzova transformace
Dilatace času
Kontrakce délek
Skládání rychlostí
Relativistická hmotnost
Vztah hmotnosti a energie
Prostoročasové intervaly
Řešení zrychlených pohybů

Postuláty speciální relativity

  1. Všechny inerciální vztažné soustavy jsou rovnocenné.
  2. Rychlost světla je stejná ve všech inerciálních soustavách.

Odvození Lorentzovy transformace

Chceme najít vztah mezi prostorovými a časovými souřadnicemi dvou inerciálních systémů (systémů bez zrychlení). Zvolíme si osové trojhrany tak, aby osy x obou soustav splývaly a osy y, z byly rovnoběžné. Soustava označená čárkou se pohybuje rovnoměrně přímočaře vzhledem k nečárkované soustavě rychlostí v:

V čase t = 0 splývají oba počátky (0 = 0'). Hledaná transformace musí být lineární, aby z inerciálního systému vytvořila opět inerciální systém:

x' = gx + dt
t' = ax + bt

Musíme najít hodnoty koeficientů g, d: v obecném časovém okamžiku má počátek čárkované souřadné soustavy (x' = 0) v nečárkované souřadnici x = vt:

0 = gvt + dt ... z čehož plyne: d = -gv
Dosadíme: x' = gx - gvt, čili x' = g(x - vt)
  1. Postulát požaduje rovnocennost obou systémů, tedy rychlost v obou systémech se může lišit maximálně znaménkem:
    x' = g(x - vt), x = g(x' + vt')
    Dosadíme jednu rovnici do druhé:
    x = g(g(x - vt) + vt') ... upravíme:
    x = xg 2 - vtg 2 + gvt' ... vyjádříme t':
    t' = x/(gv) - gx/v + gt ...což upravíme na:
    t' = x(1 - g 2)/(gv) + gt
  2. Postulát požaduje konstantnost rychlosti světla, čili signál vyslaný v čase t = 0 z počátku souřadnic je v čase t = x/c (c je rychlost světla) v místě, pro které platí:
  3. x' = g(x - vt) ... a zároveň x' = ct', tedy:
    ct' = g(c - v)t ... protože x = ct a čas t jsme vytkli
    Do tohoto vztahu dosadíme ...
    za t' = t(c(1 - g2)/(gv) + g) a dostaneme:
    ct(c(1 - g2)/(gv) + g) = g(c - v)t ...
    čas t se zkrátí a můžeme vyjádřit g ...
    g1/(1 - v2/c2)1/2

Čili Lorentzova transformace je:

x' = (x - vt)/(1 - v2/c2)1/2
t' = (t - xv/c2)/(1 - v2/c2)1/2
y' = y, z' = z

Z této transformace lze odvodit všechny následující vztahy.


Dilatace času

Vyplývá z následujíchích výrazů

t0 = t'2 - t'1 t = t2 - t1

Jestliže někdo změří, že něco trvalo t0 sekund, potom jiný pozorovatel, který se vzhledem k prvnímu pohybuje rychlostí v, změří u téhož děje, že trval t sekund. Vždy bude t >= t0. Například kyv kyvadla je pro člověka v klidu dlouhý jednu sekundu, ale letí-li někdo kolem rychlostí 280 000 km/s, trvá to pro něj 2 sekundy a 78 setin. Pro rychlosti "malé" (třeba i tisíc km za sekundu!) je rozdíl neznatelný.


Kontrakce délek

Vzplývá z

L0 = x2' - x1'

L0 je pro pozorovatele v klidu, délku L vidí pozorovatel o rychlosti v, která je přesně ve směru délky L. Vždy platí, že L0 >= L. Vidí-li tedy někdo tyč délky 4 metry, pak pro někoho o rychlosti 216 000 km/s a směru rovnoběžném s tyčí má délku 2 metry a 77 centimetrů.


Skládání rychlostí

Odvozuje se pomocí vztahů:

u = dx/dt, u' = dx'/dt'

Rychlosti u, v musí být rovnoběžné. Je-li v jisté soustavě rychlost nějakého tělesa rovna u', potom v soustavě o rychlosti v vzhledem k té první se rychlost tělesa jeví jako u. Například kolem nás někdo letí rychlostí 240 000 km/s a vyšle před sebe projektil rychlostí 210 000 km/s (vzhledem k sobě). My zjistíme rychlost projektilu 288 461 km/s. Zvolíme-li u' jako rychlost světla, vyjde nám u opět rychlost světla pro jakoukoli rychlost v... Chceme-li transformaci zobecnit na libovolný směr rychlosti u, získáme následující vztahy pro jednotlivé složky (rychlost v však musí mít stále směr osy x):


Relativistická hmotnost

Jelikož se hmotnost projevuje při dynamických dějích (srážky apod.), odvozuje se vztah pro relativistickou hmotnost ze zákona zachování hybnosti:

m1u1 + m2u2 = (m1 + m2)v

m1, m2 jsou hmotnosti dvou objektů, které se srazí, u1 a u2 jsou jejich rychlosti před srážkou, v je rychlost po srážce. Uplatní se pravidlo o skládání rychlostí, které vlastně způsobí i relativistickou změnu hmotnosti:

V klidové soustavě má těleso hmotnost m0, v soustavě o rychlosti v se jeví, že má (setrvačnou) hmotnost m. Je vždy m >= m0. Transformace se týká pouze setrvačné hmotnosti, jelikož pouze ta hraje roli při výměně hybnosti. Význam relativistické hmotnosti je tedy poněkud diskutabilní a zřejmě bohatě postačí, bude-li těleso charakterizováno svou hmotností klidovou.


Vztah hmotnosti a energie

Z výrazu pro relativistickou hmotnost plyne, že

m2(c2 - v2) = m02.c2

Po diferencování obdržíme

2m(c2 - v2)dm - m22v.dv = 0

což upravíme na

mv.dv + v2.dm = c2dm (1)

Pro energii platí

dE = F.ds = ds.d(m.v)/dt = v.d(m.v)
= v2.dm + mv.dv (2)

Porovnáním obou výsledků (1, 2) získáme vztah

dE = c2 d.m

Z toho plyne:

E = mc2

což je známý Einsteinův vztah mezi hmotností a energií. Říká se v něm, že hmotnosti m odpovídá energie E (konstantou úměry je c2 = 9.1016 m2.s-2). Na první pohled vychází i pro malé hmotnosti obrovská energie - už pro jeden kilogram je to 9.1016 Joulů. Tolik energie ve formě fotonů bychom získali z libovolného tělesa o hmotnosti jeden kilogram jeho úplnou přeměnou na záření. Běžné metody získávání energie jsou tedy velmi neúčinné.


Prostoročasové intervaly

Vzdálenost mezi dvěma událostmi v trojrozměrném prostoru určíme snadno pomocí Pythagorovy věty:

s2 = x2 + y2 + z2

Tato vzdálenost se nezmění, ani když přejdeme do jiné souřadné soustavy (posunuté, pootočené, atd). Nemění se ani pod vlivem Galileiho transformace. Pokud chceme i v teorii relativity najít jakousi vzdálenost mezi dvěma body, která je neměnná při přechodu do jiné soustavy, musíme do ní zahrnout i čas - určujeme pak "vzdálenost" mezi body v časoprostoru, neboli časoprostorový interval:

s2 = s2 = x2 + y2 + z2 - c2t2

Proč však má čas opačné znaménko a navíc je násoben rychlostí světla? Všimněme si, že pro s=0 lze výraz upravit na tvar

c2t2 = x2 + y2 + z2

To je rovnice koule, která se v čase zvětšuje rychlostí světla. Může tedy představovat světelný záblesk, šířící se od středu na všechny strany. Rychlost světla je však vždy stejná, proto i tato "zvětšující se koule" vypadá stejně pro všechny pozorovatele: pokud například někdo vyslal onen záblesk právě v okamžiku, kdy ho míjel letící pozorovatel, pak oba jsou ze svého pohledu stále uprostřed narůstající sféry, i když jsou ve vzájemném pohybu. Z toho je vidět, že čas obou nemůže být stejný. Pak by totiž světelná koule musela mít dva různé středy.


Řešení zrychlených pohybů

Speciální teorie relativity sice vychází z vlastností inerciálních (nezrychlených) soustav, to jí však nebrání počítat i zrychlené pohyby. Postupujeme tak, že obecný pohyb rozdělíme na krátké úseky, které jsou díky své omezenosti "téměř" inerciální, vyřešíme pohyb v každé takové části a výsledky potom sečteme. To je samozřejmě postup šitý na míru diferenciálnímu a integrálnímu počtu. Zde je například vztah pro vlastní čas pozorovatele, pohybujícího se v časoprostoru po světočáře, zadané parametricky jako xm = xm (l):

Zde hmn = diag(-c2,1,1,1) je metrika plochého prostoru. Vlastní čas Dt je čas, který daný pozorovatel sám naměří hodinkami, které si nese s sebou. Světočára (dráha pozorovatele v časoprostoru) nesmí nikde překročit rychlost světla. Pokud tento postup použijeme na známý paradox dvojčat a spočítáme vlastní čas na Zemi a vlastní čas v raketě putující "tam a zase zpátky", skutečně nám vyjde, že na Zemi uplyne více času (pro cestovatele je možné použít libovolnou světočáru časového typu).