Odvození rychlosti světla
Tato část obsahuje matematické odvození vlnové rovnice z Maxwellových rovnic a výpočet rychlosti světla. Na závěr je ukázáno, že pokud by rychlost světla byla relativní, pak by Maxwellovy rovnice musely vypadat v každém inerciálním systému jinak.
Vlnová rovnice
- Vyjdeme z Maxwellových rovnic v diferenciálním tvaru, z nichž nejdříve sestavíme vlnovou rovnici, tu vyřešíme a z nalezené rovnice postupné vlny vyjádříme její fázovou rychlost:
rot H = J + D / t
|
rot E = - B / t
|
div E = r
|
div B = 0
|
- Řešení provedeme pro vakuum, daleko od zdrojů, kde se některé výrazy zjednoduší (proudová hustota J je nulová, stejně tak hustota náboje r, dále platí, že B = m H,D = e E, kde e je permitivita a m je permeabilita prostředí):
rot H = e E / t
|
rot E = -m H / t
|
div E = 0
|
div B = 0
|
- Najdeme například výraz pro elektrickou intenzitu E, čili použijeme druhou Maxwellovu rovnici tak, že ji zrotujeme (pro H je postup obdobný - vyjde se z první rovnice):
rot rot E = -m (rotH) / t
|
- Teď dosadíme za "rot H" pravou stranu první rovnice
rot rot E = -m e (rotH) / 2E/ t2
|
- Použijeme vektorovou identitu "rot rot = grad div - D". Jelikož div E = 0, rovnou vypadne člen "grad div E":
DE - m e 2E/ t2 = 0
|
Toto je vlnová rovnice pro E = E(x,y,z,t).
-
Řešením najdeme rovnici postupné vlny (omezíme se na případ, kdy E se šíří pouze ve směru osy x a kmitá jen v rovině xy):
E(xt) = E sin (vt - x/(em)1/2) y
|
kde y je jednotkový vektor na ose y, w a E jsou integrační konstanty - E má význam amplitudy, w je úhlová frekvence. Je vidět, že u nezávisle proměnné x se objevil člen 1/(em)1/2, který má význam fázové rychlosti postupu této vlny, čili je to naše hledaná rychlost. Jestliže dosadíme hodnoty pro vakuum (e = 8,854.10-12 F/m, m = 1,256.10-6> H/m), dostaneme c = 299 871,658 km/s, čili rychlost světla ve vakuu. Za nepřesnost jsou odpovědny zaokrouhlovací chyby.
Vliv Galileovy transformace
Představme si rovinnou elektromagnetickou vlnu, šířící se ve směru osy x v nějakém inerciálním systému. Ve stejném směru se vzhledem k tomuto systému pohybuje jiný inerciální systém rychlostí v. Jestliže v obou systémech platí stejné Maxwellovy rovnice, pak musí v obou nastat například rovnost H=E=0 na stejném místě (určeném transformací mezi oběma systémy). V prvním systému se vlnoplocha H=E=0 pohybuje rychlostí c. Pokud by platila Galileova transformace, pohybovala by se ve druhém systému vlnoplocha H=E=0 rychlostí c-v, čili v tomto systému by musel být jiný tvar Maxwellových rovnic: výslovně by v nich vystupovala rychlost v vůči etheru.