Úvod Teorie relativity Matematické dodatky FAQ Ke stažení Napište mi

Afinní konexe

Christoffelovy koeficienty nesou informaci o změně metrického tenzoru od místa k místu... Pokud hledáme parciální derivaci nějakého vektorového pole, porovnáváme vlastně jeho stav ve dvou blízkých bodech. V křivočarých souřadnicích obecné relativity však toto nelze provést přímo, protože při přesunu k jinému místu se změní i sama báze soustavy a nelze jednoduše porovnat souřadnice dvou vektorů, jsou-li vztaženy k různým bázím. Změnu báze nazýváme afinní konexe. Jelikož tedy nemůžeme použít klasickou parciální derivaci, zavádíme kovariantní derivaci, která bere v úvahu i afinní konexi. Podstata je jednoduchá: každý vektor je součinem svých souřadnic s příslušnou bází. Je-li nekonstantní báze, musíme vektor derivovat jako tento součin a tím uvažovat i "derivaci báze":

Kovariantní derivaci označujeme středníkem (;). A pozor: zde nesčítáme přes index , protože jsme si pouze vektor rozepsali do tvaru součinu souřadnic a báze. Nyní zavedeme

čímž lze výraz (1) přepsat na tvar

To v plochém prostoru přejde v klasickou parciální derivaci (značenou čárkou), protože Christoffelovy koeficienty jsou v něm nulové z důvodu konstantnosti metrického tenzoru.

S pomocí (2) a s odkazem na metrický tenzor je možné odvodit, že