Úvod Teorie relativity Matematické dodatky FAQ Ke stažení Napište mi

Obecná relativita matematicky

Z důvodů velké složitosti matematického popisu obecné teorie relativity uvádím pouze základní vztahy, vyjadřující hlavní myšlenky. Tato část navíc neoplývá přílišnou exaktností, je jenom jakýmsi okénkem do relativistické kuchyně a kdo nerozumí tenzorovému počtu a diferenciální geometrii, asi se ztratí.

Postuláty obecné relativity
Zakřivení prostoročasu
Některá řešení Einsteinových rovnic
Dráhy těles v prostoročasu

Postuláty obecné relativity

  1. Všechny děje dopadnou v jakémkoli souřadnicovém systému stejně.
  2. Zrychlení nelze odlišit od gravitace.

Zakřivení prostoročasu

Matematický popis vychází z toho, že každé těleso svou přítomností zakřivuje okolní prostor a čas. Rovnice gravitace by tedy měla vypadat zhruba takto:

Zakřivení časoprostoru = rozmístění hmoty

Rozmístění hmoty je popsáno pomocí tenzoru energie a hybnosti Tmn, geometrii prostoročasu určuje metrický tenzor , který je v rovnici gravitace hledaná neznámá.

Zavedeme Christoffelův symbol jako

kde čárka před indexem znamená parciální derivaci : (pro přehlednost). Druhé derivace metrického tenzoru obsahuje Riemannův tenzor křivosti:

V něm je důležité jeho zúžení, čili Ricciho tenzor:

a skalární křivost:

Nyní můžeme popsat vztah metriky a hmoty rovnicí:

Konstanta k = 8pG/c2, kde G = 6,67.10-11 je Newtonova gravitační konstanta a c je rychlost světla. Tato rovnice gravitace pro neznámý metrický tenzor gmn představuje soustavu deseti nelineárních parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu. Derivace metriky jsou v Riemannově tenzoru a Christoffelově symbolu. Nelinearita je způsobena tím, že samo gravitační pole je nositel energie a je tedy také zdrojem další gravitace. Einstein svého času ještě do rovnice přidal kosmologickou konstantu L, takže na levé straně se navíc objevil člen Lgmn, ale pak ji zrušil jako produkt omylu, ovšem ukázalo se, že to možná zas tak velký omyl nebyl (to už je ale jiný příběh). Nic se nestane, budeme-li ji považovat za nulovou.


Některá řešení Einsteinových rovnic

Roku 1916 našel Karl Schwarzchild řešení těchto rovnic pro statickou, sféricky symetrickou hvězdu, jehož metrika je:

ds2=-(1-2GM/c2r)c2dt2+(1-2GM/c2r)-1dr2+r2dQ2+r2 sin2Qdf2

ve sférických souřadnicích. G je Newtonova gravitační konstanta. Element je zjevně singulární pro:

r = 2GM/c2

Tato hodnota se nazývá gravitační poloměr (též Schwarzschildův) - těleso hmotnosti M stlačené pod tento poloměr se stává černou dírou. Například pro Zemi (6.1024 kg) je zhruba 8,9 milimetrů.

Řešení rovnic pro celý vesmír poskytuje metriku ve tvaru:

ds2=-c2dt2+R2(t)[dr2/(1-kr2)+r2dQ2+r2 sin2Qdf2]

pro rozpínající se vesmír ve sférických souřadnicích. R(t) je škálový faktor. Kritická hustota pro plochý vesmír (s nulovou křivostí) je:

rc = 3H2/(8pG)

kde H je Hubbleova konstanta (H = V/R, čili úměra mezi rychlostí vzdalování a vzdáleností objektů).

Teorie navíc předpovídá i existenci gravitačních vln, což je periodické zakřivování časoprostoru, postupující rychlostí světla. Metrický tenzor lze rozdělit na dvě části: = hmn + hmn, kde hmn je metrika plochého prostoru a hmn jsou drobné odchylky od ní vyhovující vlnové rovnici

Dhmn - 1/c2 2 hmn/ t2 = 0

Dráhy těles v prostoročasu

V předchozí části byl vytvořen prostor. V takovém prostoru se podle obecné relativity hmota přirozeně pohybuje po nejkratších možných drahách, což jsou vlastně dráhy "volného pádu" (je jedno, jestli někam padáme nebo ne - obojí je jenom spolupráce s tvarem časoprostoru; teprve náraz na zem nebo urychlení je vybočením z normálu a může případně zabolet). Diferenciální geometrie učí, že na dané varietě má ze všech křivek spojujících dva body nejkratší oblouk geodetická křivka (geodetika), pro kterou platí, že její pravoúhlý průmět do tečného prostoru má nulovou křivost v každém jejím bodě. Lze odvodit:

což je diferenciální rovnice druhého řádu pro parametrické vyjádření geodetiky ve tvaru xm = xm(l), kde m = 0,1,2,3. Taková trajektorie, splňující předchozí rovnici, je tedy trajektorií bez zrychlení. Jakékoli vychýlení z takové dráhy (pomocí motoru, zaražením se o povrch planety, držením se skalní stěny, ...) je provázeno pocitem působící síly. Poznámka: v plochém prostoru jsou Christoffelovy koeficienty nulové, z rovnice tedy zbyde d2xm/dl2 = 0, což je rovnice rovné čáry, což odpovídá požadavku, aby v nezakřiveném prostoru byla nejkratší spojnice dvou bodů část přímky.

Dva body v časoprostoru lze spojit různými křivkami (světočárami). Pokud taková křivka nikde nepřekročí rychlost světla, nazýváme ji světočára časového typu (ne každé dva body lze takovou světočárou spojit!). Odpovídá-li světočára právě rychlosti světla, jedná se o nulovou světočáru (nulové délky). Při překročení rychlosti světla hovoříme o světočáře prostorového typu. U světočáry časového typu se používá termín vlastní čas - čas, který naměří hodiny putující po dané světočáře xm(l):

Jedná se o obdobu tohoto výrazu. Dá se určit, že ze všech světočar mezi týmiž dvěma body (které lze spojit světočárou časového typu) má geodetika nejdelší vlastní čas.